Cinque equazioni fondamentali

Tutte le innovazioni tecnologiche su cui facciamo affidamento ogni giorno, dalle automobili agli smartphone, sono state progettate utilizzando la fisica. E anche se non sono necessarie grandi conoscenze scientifiche per utilizzare questi oggetti, tutti noi dovremmo essere in grado comprendere almeno alcune nozioni base di questa materia (così come di musica, arte, storia ed economia). Come ha scritto Robert Heinlein nel suo romanzo Lazarus Long, l'immortale: “Un essere umano deve essere in grado di cambiare un pannolino, pianificare un'invasione, macellare un maiale, guidare una nave, progettare un edificio, scrivere un sonetto, tenere la contabilità, costruire un muro, aggiustare un osso rotto, confortare i moribondi, prendere ordini, dare ordini, collaborare, agire da solo, risolvere equazioni, analizzare un problema nuovo, raccogliere il letame, programmare un computer, cucinare un pasto saporito, battersi con efficienza, morire valorosamente. La specializzazione va bene per gli insetti”. Per evitare di fare la figura degli insetti, quindi, vi propongo la mia top five delle equazioni di fisica che dovreste assolutamente conoscere.

1.

Il secondo principio della dinamica. L’avrete sicuramente già incontrato: ha più di trecento anni e lo si ritrova spesso nei meme a sfondo scientifico o sulle magliette. La formula recita che la forza netta su un oggetto è uguale alla sua massa (m) per l'accelerazione (a). Ma cosa significa veramente? Questa regola ha a che fare con le interazioni, come quelle che si creano calciando un pallone o facendo cadere una bottiglia d'acqua sul pavimento. Il secondo principio della dinamica (conosciuto anche come seconda legge di Newton) descrive queste interazioni con il concetto di "forza". E cosa fanno le forze? La forza netta su un oggetto ne modifica il moto. E da questa equazione di fisica apparentemente semplice possono scaturire altre riflessioni interessanti. Vedete le frecce sopra F e a nell'immagine? Indicano che le due variabili in questione sono dei vettori, e che contengono quindi più di un'informazione. Se qualcuno vi chiedesse per esempio di spostarvi di un metro, dove andreste a finire? Dipende. Potreste muovervi di un metro verso est, verso ovest, o a 39 gradi dal nord. La distanza da sola non è sufficiente: è necessario specificare anche la direzione. Questo vale sia per le forze che per l'accelerazione. Altre grandezze (come la massa o la temperatura) non hanno una direzione e vengono perciò definite scalari. Nonostante il secondo principio della dinamica sia utilissimo, per qualche strana ragione la gente non sembra crederci. Molti ritengono, erroneamente, che una forza costante faccia muovere un oggetto a velocità costante. L'equazione dice invece che se si spinge su un oggetto con una forza costante, questo continuerà ad accelerare. Perché questa idea sbagliata è così diffusa? Il motivo è non c'è quasi mai una sola forza ad agire su un oggetto. Se si mantenesse una pressione costante sul pedale dell'acceleratore, e questa fosse l'unica forza esercitata sull'auto, potete star certi che la vostra macchina correrebbe sempre più veloce. Ma quando guidiamo in realtà entra in gioco anche la resistenza del vento, che spinge nella direzione opposta e compensa parzialmente la forza del motore. Usando le forze per descrivere le interazioni è possibile per esempio,prevedere la traiettoria di un pallone da basket in aria o addirittura il movimento di un sistema stellare binario. 

2.

 L'equazione delle onde. Se prendete una lunga corda e ne scuotete un'estremità, creerete una perturbazione. Indovinate un po': con quel semplice gesto avete creato un impulso che viaggia lungo la fune. È un esperimento piuttosto semplice da realizzare. Equazioni di fisica ecco le cinque che dovreste assolutamente conoscere. Parliamo in questo caso di un'equazione differenziale, che quindi riguarda il calcolo infinitesimale. Ma l'idea alla base è semplice: se immaginate un piano cartesiano con una corda distesa sull'asse x, l'equazione afferma che la posizione della fune nella direzione verticale (y) dipende sia dal tempo (t) che dalla posizione di quella parte dell'oggetto (x). In base a ciò, possiamo modellare un impulso su una corda per dimostrare che si muove a una velocità v. Nelle corde reali, la velocità dell'onda dipende sia dalla massa per la lunghezza sia dalla tensione della fune. Ma perché dovrebbe interessarvi? Be', perché le onde sono ovunque intorno a noi. La luce è un'onda elettromagnetica. Lo stesso vale per le radiazioni del vostro forno a microonde e per il segnale wi-fi. Il suono è un'onda che si muove nell'aria; quando si pizzica una corda le cui estremità sono fissate, quest'onda rimbalza avanti e indietro: in questo caso si parla "onda stazionaria" ed è quella che si ottiene quando si suona la chitarra. Come vedrete tra poco, con un'equazione di questo tipo si può descrivere addirittura il comportamento di oggetti piccolissimi come gli elettroni. 

3.

. Le equazioni di Maxwell. Includere in questo elenco quattro equazioni di fisica come se fossero una sola è un po' come barare, ma qui parliamo di un pacchetto completo. Le equazioni di Maxwell descrivono sostanzialmente tutto ciò che serve sapere sul campo elettrico (E), sul campo magnetico (B) e sulla loro correlazione. Il campo elettrico è un modo per descrivere le interazioni tra le cariche elettriche (come elettroni e protoni), mentre il campo magnetico descrive ciò che accade quando queste cariche sono in movimento (in un atomo o in una corrente elettrica). Praticamente tutto ciò che ci circonda ha a che fare con l'interazione elettromagnetica. Perché quando spingiamo la mano contro il muro non riusciamo ad attraversarlo? Dopo tutto il muro non è un oggetto solido, ma è composto da atomi. La ragione è l'interazione elettrica tra gli elettroni della mano e quelli del muro, che si respingono. Poi, naturalmente, esistono oggetti come le lampadine, i motori elettrici e i computer. Ma c'è una cosa ancora più importante da dire sulle equazioni di Maxwell. Si possono usare per dimostrare che un campo elettrico oscillante genera un campo magnetico variabile, che a sua volta genera un campo elettrico. In pratica, è possibile creare un'onda (con l'equazione d'onda) per i campi elettrici e magnetici nello stesso modo in cui un'onda si sposta lungo una corda. La velocità di quest'onda elettromagnetica (nel vuoto) sarebbe di 2,99 x 108 metri al secondo, che si dà il caso sia la velocità della luce. Quindi la luce è effettivamente un'onda elettromagnetica. Ed è un fatto piuttosto importante. 

4.

 Equazione di Schrödinger.  L'equazione di Schrödinger è il modello matematico alla base della meccanica quantistica. Per descrivere il comportamento di una palla da baseball o della Luna in orbita intorno alla Terra si può usare la seconda legge di Newton. Che però non va più bene quando si indagano corpi estremamente piccoli come elettroni e protoni. Gran parte delle nostre idee sul moto non funzionano su scala subatomica. "Se pensate di capire la meccanica quantistica, non capite la meccanica quantistica", come disse una volta Richard Feynman. Prendiamo quindi brevemente in esame l'equazione di Schrödinger. La versione in alto è chiamata equazione di Schrödinger dipendente dal tempo in una dimensione. Vedete la variabile Ψ (psi)? Si tratta della funzione d'onda. È un modo per rappresentare la probabile posizione di una particella, dal momento che non possiamo calcolarne la traiettoria. La chiamiamo funzione d'onda perché ha una soluzione ondulatoria, il che è positivo perché possiamo basarci sui calcoli matematici usati per le onde. Potete notare come questa equazione metta in relazione un tasso di variazione temporale (a sinistra) e un tasso di variazione spaziale (a destra), come l'equazione d'onda che abbiamo esplorato in precedenza. Anche se può sembrare strano che includa un numero immaginario (i è la radice quadrata di -1), questi elementi compaiono spesso nei modelli fisici e sono molto utili per rappresentare le oscillazioni. Passiamo ora a un’altra componente importante di questa equazione: ℏ. Si tratta della cosiddetta costante di Planck ridotta, che descrive la relazione tra energia e frequenza a livello quantistico (se volete divertirvi, potete misurare questa costante fondamentale usando led di colore diverso). Nel caso in siate appassionati di fisica quantistica e abbiate deciso di tatuarvi l'equazione di Schrödinger sul braccio, vi suggerisco di usare questa versione più breve: 

È praticamente la stessa cosa. C'è ancora la dipendenza dal tempo a sinistra. La parte spaziale è sostituita dall'operatore hamiltoniano (una H con un cappellino). Infine, |Ψ> è chiamato vettore di stato. È solo un modo diverso di rappresentare la funzione d'onda Ψ. Ma perché dovrebbe interessarci il mondo quantistico? Anche se non possiamo visitarlo come Ant-Man, ci occupiamo spesso di oggetti subatomici. Pensate a una singola molecola d'acqua, che rappresenta un'interazione tra un atomo di ossigeno e due atomi di idrogeno. Anche se è molto complicata, può essere modellata utilizzando l'equazione di Schrödinger. Se non vi piace l'acqua, esiste un'intera gamma di tecnologie basate sulla meccanica quantistica: laser, orologi atomici, led e, naturalmente, semiconduttori (utilizzati nel computer su cui state leggendo questo articolo).

5.

  L'equazione energia-massa di Einstein. Se chiedete a una persona a caso di citarvi un'equazione, è molto probabile che come risposta otterrete questa formula. In breve, mostra una relazione tra energia (E) e massa (m) con la costante c per la velocità della luce (2,99 x108 metri al secondo). Anche se questa è la versione più conosciuta, ne esiste un’altra più completa. Eccola: 

 Questa versione tiene conto della velocità della particella (v) e permette di ottenere un'espressione che indica la sua energia totale. Se la velocità è molto inferiore a quella della luce, l'energia è approssimativamente questa :

Questo 1/2mv2 potrebbe apparirvi familiare: è l'energia cinetica. Possiamo quindi dedurre che l'energia di un oggetto è la somma della sua "energia di massa a riposo" (mc2) e della sua energia cinetica. Se si lancia una palla da baseball, questa possiede ovviamente un’energia cinetica perché si muove. Ma l'equazione di Einstein afferma che è dotata di energia anche quando è ferma. Prendiamo alcuni valori reali. Supponiamo che una palla da baseball (con una massa di 0,149 chilogrammi) si muova a una velocità di 40 metri al secondo (quella che imprimerebbe un lanciatore professionista). La palla avrebbe un'energia cinetica di 119 joule, ma l'energia della massa a riposo sarebbe di 1,33 x1018 joule: è molto di più di quello che pensate. Nel 2022 gli Stati Uniti hanno utilizzato poco più di 4mila miliardi di chilowattora di energia. Se si converte questo valore, si ottiene 1,46 x1019 joule. Quindi, se si prendessero undici palle da baseball e si trasformasse tutta la loro massa in energia elettrica, questa basterebbe per soddisfare il fabbisogno energetico degli Stati Uniti per un anno. È esattamente ciò che accade in una centrale nucleare. Gli elementi dotati di grande massa (come l'uranio) vengono colpiti dai neutroni e si rompono in pezzi. Tuttavia, la massa totale dei frammenti è inferiore alla massa originale dell'uranio. La massa persa viene convertita in energia. Dal momento che nell'equazione c è al quadrato, si evince che basta una piccola massa per ottenere molta energia. Ma forse non vi piacciono le centrali nucleari. Bene. Siete interessati ad altri tipi di energia? Vi piace mangiare? Vi incuriosisce il tempo? Tutte queste cose dipendono da un grande oggetto nel cielo chiamato sole, che produce luce grazie a una reazione nucleare che avviene al suo interno. Questa luce è la fonte della maggior parte delle altre forme di energia: aiuta a crescere le piante (comprese le verdure che mangiamo) che poi vengono mangiate dagli animali (e di cui molti di noi si nutrono a loro volta). L'energia solare riscalda la superficie della Terra e produce variazioni di temperatura e cambiamenti meteorologici. Insomma, il sole è essenziale. Forse E = mc2 è l'equazione fisica più famosa, ma è di sicuro anche la più importante. D'altronde mangiare mi piace eccome. 

 Questo articolo è apparso originariamente su Wired US. Topics