Le dimensioni

A cura di

Michele Cerulli

Il nostro mondo è tridimensionale, e su questo non ci sono dubbi. Le nostre tre dimensioni sono: lunghezza, larghezza e spessore. E se volessimo trovare una quarta dimensione? “La quarta dimensione è il tempo!”, lo sentiamo dire spesso. Ma se volessimo cercare una quarta dimensione diversa dal tempo, cosa succederebbe? Cerchiamo di capire perché una quarta dimensione è importante nei videogiochi e come i matematici pensano a dimensioni oltre la terza. E spoiler: scoprirete che a tutti può capitare di agire in un mondo con più di 4 dimensioni!

Le tre dimensioni nella vita reale: lunghezza, larghezza e spessore (o profondità)

Viviamo in un mondo tridimensionale. Ma vi siete mai chiesti che cosa significhi? Per capirlo, partiamo da una singola dimensione e cerchiamo di costruire il nostro mondo.

Quando ci muoviamo con la macchina in un tratto di strada senza incroci possiamo solo andare avanti o indietro, cioè possiamo muoverci in una sola direzione. Più precisamente, i matematici direbbero che ci muoviamo in uno spazio di dimensione uno, uno spazio lineare. In un mondo a una sola dimensione, ci basta una sola coordinata spaziale per sapere dove ci troviamo. Tornando all'esempio della macchina, se mentre stiamo guidando ci viene segnalato un pericolo al Km 10, per controllare quanto siamo lontani dal pericolo ci basta controllare i cartelli stradali che riportano il chilometraggio e prestare attenzione al momento giusto. Il solo numero 10 è sufficiente per farci individuare con precisione il luogo indicato. Una dimensione, un solo numero!

Pensiamo ora invece al gioco degli scacchi: si svolge su un quadrato, cioè uno spazio di dimensione due che i matematici chiamano superficie. Per indicare la posizione di un pezzo infatti non basta un solo numero ma servono un numero ed una lettera per indicare le posizioni sulla scacchiera. Nell’immagine qui sotto, ad esempio, il Re nero si trova nella posizione E7 mentre il Re bianco si trova in D3. Ogni pezzo, in breve, si può muovere in due direzioni possibili, orizzontale e verticale, e combinandole può anche muoversi in diagonale! La scacchiera infatti è un mondo bidimensionale, in cui ogni movimento può essere descritto tramite due coordinate. Insomma, due dimensioni, due numeri!

In matematica due numeri che indicano la posizione di un oggetto su un piano prendono il nome di coordinate cartesiane e vengono indicate tra parentesi: la coppia (4; 3) indica un punto che si trova spostato di 4 a destra rispetto ad un punto di riferimento (detto origine) e di 3 verso l’alto.

Arriviamo quindi nel nostro mondo: quello tridimensionale. Oltre ai movimenti "piani", esiste anche l'altezza! Nello spazio tridimensionale possiamo infatti indicare la posizione di un punto con un elenco ordinato di tre numeri. Ad esempio, pensiamo alla posizione di un bicchiere che si trova su un tavolino, come quello nella figura in basso. Il tavolino è alto 90 cm, mentre il bicchiere si trova spostato di 120 cm verso destra e 80 cm in avanti rispetto all'angolo del tavolo. Mettendo insieme queste tre informazioni, la posizione del bicchiere sarà indicata dalla terna (120; 80; 90). Tre dimensioni, 3 numeri!

Questo modo di descrivere le posizioni degli oggetti viene usato sistematicamente quando devono essere fornite delle indicazioni spaziali. L’idea è che ogni numero dell’a terna indichi la posizione nell’ambito di una delle tre dimensioni, che nella nostra realtà sono descrivibili come lunghezza, larghezza e spessore.

Va detto però che nella nostra vita quotidiana, ma anche nei videogiochi, abbiamo a che fare con oggetti che possono differenziarsi in base a molti più aspetti che non semplicemente la posizione e questo ci può aiutare ad estendere l’idea di dimensione oltre la terza.

Andare oltre la terza dimensione: quando si passa dalla posizione alla quantità

Rimaniamo sul nostro esempio del bicchiere, ma ora immaginiamo che contenga dell’acqua. Se riprendiamo la terna descritta sopra che contiene le coordinate spaziali del bicchiere, possiamo descrivere anche quanta acqua contiene il bicchiere aggiungendo un numero che esprima la quantità di liquido. Nel caso in cui contenga 20 cl di acqua – come nell'immagine sotto – possiamo scrivere l’elenco (120; 80; 90; 20) che descrive tutto quello che sappiamo sul bicchiere: posizione e quantità di liquido contenuta. Analogamente il bicchiere dell’immagine sopra, quello vuoto, sarà indicato con (120; 80; 90; 0) perché non contiene liquido. Insomma ora abbiamo descritto completamente il bicchiere usando quattro numeri numeri: dal punto di vista matematico abbiamo appena aggiunto una quarta dimensione alla descrizione del bicchiere. Quattro numeri, quattro dimensioni!

Il tempo come dimensione: come possono cambiare le variabili

Ora che abbiamo imparato il trucco, possiamo aggiungere tutte le dimensioni di cui abbiamo bisogno. Ad esempio, tornando sempre all'esempio del bicchiere, in estate potremmo essere interessati a sapere se l’acqua contenuta è fresca oppure no. Se abbiamo appena preso l’acqua dal frigorifero la sua temperatura è di circa 4°C e possiamo riassumere tutte le informazioni che abbiamo sul bicchiere scrivendo (120; 80; 90; 20; 4) e quindi riportando posizione, quantità di liquido e temperatura. Cerchiamo ora di fare un passo in più: quello temporale!

Questo elenco di numeri si riferisce ad una descrizione statica del bicchiere ma, se spostiamo il bicchiere, i primi 3 numeri dell’elenco cambieranno perché ne indicano, come abbiamo visto, la posizione. In matematica le quantità che possono cambiare si chiamano variabili e quando abbiamo a che fare con tante variabili che cambiano in maniera indipendente l’una dall’altra – come nel nostro esempio – ognuna di esse può esser vista come una diversa dimensione: tante variabili, tante dimensioni!

Tra le tante variabili che si possono prendere in considerazioni è spesso utile considerare il tempo. Ad esempio per descrivere il fatto che la temperatura dell’acqua è salita da 4°C a 10°C in 20 minuti allora possiamo scrivere che il bicchiere è passato da (120; 80; 90; 20; 4; 0), cioè 4° al tempo 0 minuti, a (120; 80; 90; 20; 10; 20), cioè 10° al tempo 20 minuti. Gli ultimi due numeri di entrambe le descrizioni ci indicano proprio la variazione di temperatura e il tempo trascorso. Siamo quindi arrivati a ben 6 dimensioni … in un bicchiere d’acqua!

Quando le dimensioni non comprendono spazio e tempo

Ma è possibile escludere spazio e tempo dalle dimensioni? Risposta breve: Sì! Dipende da quello che vogliamo descrivere.

Supponiamo che il bicchiere contenga una bevanda e che quello che siamo interessati a descrivere sono i valori nutrizionali. Ad esempio una lattina di una nota bevanda fornisce 571 Kj di energia e contiene 9 g di proteine, 0 g di grassi e 10 g di carboidrati, quindi possiamo descrivere il suo apporto nutrizionale scrivendo: (571; 9; 0.1; 10). Se consideriamo la stessa quantità di acqua il suo apporto nutrizionale sarà con buona approssimazione (0; 0; 0; 0). In questo caso stiamo usando quattro numeri, ovvero quattro dimensioni di cui nessuna riguarda spazio o tempo. Ogni volta che scegliamo gli alimenti in base ai loro valori nutrizionali stiamo in realtà ragionando in quattro dimensioni, e se consideriamo anche il costo dell'alimento le dimensioni diventano cinque!

Le tante dimensioni dei videogiochi

Torniamo infine alla questione dei gamers, gli appassionati di videogiochi. Molti videogiochi prevedono che l’utente controlli un personaggio che si muove in un ambiente compiendo delle azioni il cui esito dipende da diverse qualità del personaggio, che possono essere descritte tramite numeri. Ad esempio nei giochi di combattimento i personaggi solitamente sono caratterizzati dell’energia e da skills (abilità) come rapidità, destrezza, resistenza. Se l’energia scende a zero il personaggio viene sconfitto, mentre l’esito di una mossa dipenderà dalla combinazione delle variabili delle skills del personaggio e del suo avversario, oltre che dalla posizione in cui si trovano nel gioco. Insomma, ai fini dello svolgimento del gioco, un personaggio di una simulazione di combattimento è descritto da molte variabili indipendenti tra loro. Nel nostro esempio, ipotizzando una simulazione 3D, il personaggio sarebbe descritto da sette variabili (tre per la posizione più quattro per le skills) ed il computer lo tratterebbe come un punto di uno spazio a 7 dimensioni indicato da 7 numeri. La conoscenza di come possono variare questi parametri e come le loro diverse combinazioni influiscono sull’esito del gioco, è cruciale per i gamers in quanto, solitamente, più alti sono i valori delle skills e maggiore è la probabilità di vincere.

Possiamo vedere un gamer come un professionista degli spazi multidimensionali: la prossima volta che vi capiterà di giocare ad un videogioco sul calcio provate a contare quante skills caratterizzano i vostri giocatori, scoprirete che il vostro goleador vive in un mondo di una decina di dimensioni…