Il calcolo con gli infiniti

 Il calcolo con gli infiniti è un concetto affascinante e fondamentale nella matematica, soprattutto nell'analisi matematica e nella teoria degli insiemi. Vediamo alcuni concetti chiave:

### Limiti e Infinità

1. **Limiti**: I limiti ci aiutano a comprendere il comportamento di una funzione o di una sequenza man mano che ci avviciniamo a un punto specifico o quando tendiamo verso l'infinito. Ad esempio, il limite della funzione 1/x quando x tende a 0 è infinito. Questo significa che man mano che ci avviciniamo a 0, i valori di 1/x diventano sempre più grandi.

2. **Serie Infinite**: Una serie infinita è la somma di una sequenza infinita di numeri. Ad esempio, la serie geometrica:

   $$

   1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots

   $$

   ha un limite finito, e si avvicina a 2.

### Calcolo Differenziale e Integrale

1. **Derivate**: La derivata di una funzione rappresenta il suo tasso di variazione istantaneo. Ad esempio, la derivata di \( f(x) = x^2 \) è \( f'(x) = 2x \). Quando consideriamo il limite della variazione di x che tende a zero, possiamo calcolare la derivata.

2. **Integrali**: L'integrale di una funzione rappresenta l'area sotto la curva della funzione stessa. Eccone un esempio:

   $$

   \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}

   $$

   Questo integrale calcola l'area sotto la curva \( x^2 \) da 0 a 1. Gli integrali definiti richiedono il calcolo di limiti di somme infinitesimali.

### Teoria degli Insiemi e Cardinalità

1. **Insiemi Infiniti**: La teoria degli insiemi studia insiemi infiniti, come l'insieme dei numeri naturali \( \{1, 2, 3, \cdots\} \). Esistono anche insiemi infiniti con differenti cardinalità (grandezze). Per esempio, ci sono tanti numeri naturali quanti numeri interi, ma ci sono molti più numeri reali di quanti numeri interi.

   

2. **Cardinalità di Aleph**: La cardinalità degli insiemi infiniti viene spesso espressa con la notazione \( \aleph \). Ad esempio, \( \aleph_0 \) rappresenta la cardinalità dei numeri naturali, mentre l'insieme dei numeri reali ha una cardinalità pari a \( 2^{\aleph_0} \) (che è più grande di \( \aleph_0 \)).

### Conclusione

Il calcolo con gli infiniti ci pone di fronte a concetti che sembrano paradossali ma che sono essenziali per capire la struttura del mondo matematico e fisico. Questi strumenti ci consentono di analizzare processi continui e discreti e comprendere fenomeni naturali complessi.

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Ma questa è alta matematica.

Purtroppo con la matematica si può dimostrare tutto e il contrario di tutto. Anche che lo spazio ha quindici dimensioni!

Ora,prima di dimostrare qualcosa, bisogna sapere  che cosa. E poi bisogna che serva a qualcosa di concreto. L' ho già detto. Non esiste niente di assoluto. Bisogna che le teorie o le ipotesi "funzionino". Se funzionano, sono vere.... temporaneamente.

Tutto qui. Si parte dalla realtà per ritornare alla realtà. I mezzi non contano. Potete usare

numeri, parole, gesti, simboli, gli esagrammi, le rune, i tarocchi, il moto delle stelle,  la bacchetta magica o quel che volete voi. L' importante è che funzionino, ossia che abbiano una corrispondenza con la realtà.