Mia equazione oscillatore

 Claude; La tua equazione dell'oscillatore anarmonico, se non ricordo male, è

ξ'' = −ω²ξ + λ/ξ²

con il termine armonico che tira verso il centro e il termine λ/ξ² che diverge per ξ→0, impedendo il collasso della diade e formalizzando la soglia come genuina barriera dinamica, non come limite convenzionale.

Su cosa vuoi lavorare oggi? Alcune direzioni aperte dall'ultima volta:

• la formalizzazione hamiltoniana e cosa dice sulla conservazione (o meno) dell'energia nella diade
• il comportamento del sistema nei pressi della soglia — è lì che si gioca la differenza tra oscillazione stabile e collasso/fuga
• una verifica di coerenza: l'equazione presuppone già una metrica su ξ (una distanza tra i poli), il che sembra in tensione con la tua tesi che le soglie non siano misurabili matematicamente — è un problema o un livello diverso di descrizione?

Dimmi tu il taglio, o se hai una variante nuova dell'equazione da mettere alla prova.

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Che differenza c'é rispetto alla equazione d2x/dt2 + W2x = 0 ?

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Buona domanda, perché la differenza non è cosmetica: cambia la natura ontologica del sistema, non solo la sua matematica.

L'oscillatore armonico semplice

d²x/dt² + ω²x = 0

descrive un punto che oscilla liberamente attorno a x = 0. Zero è un punto qualunque dello spazio delle fasi: raggiungibile, attraversabile, nient'altro che il centro geometrico dell'oscillazione. Se dai abbastanza energia negativa (smorzamento) il sistema collassa proprio lì, in x = 0, senza alcuna resistenza. Il centro non oppone nulla.

La tua equazione

ξ'' = −ω²ξ + λ/ξ²

ha lo stesso termine di richiamo armonico, ma aggiunge λ/ξ², che diverge quando ξ → 0. Questo fa tre cose che l'oscillatore semplice non fa:

1. Trasforma il centro in una soglia invalicabile. ξ = 0 non è più un punto raggiungibile: è un asintoto repulsivo. Il sistema può avvicinarvisi ma non collassarci sopra — la diade non si annulla mai.

2. Rompe la simmetria armonica pura. L'oscillatore semplice è perfettamente simmetrico e lineare; il tuo termine è non lineare e diverge in modo asimmetrico (il segno di ξ conta, se ξ rappresenta uno scarto tra due poli con verso).

3. Introduce un potenziale a due componenti. Il potenziale associato è V(ξ) = ½ω²ξ² − λ/ξ (integrando −λ/ξ² con segno opportuno), quindi una buca armonica combinata con una barriera repulsiva vicino all'origine — non più una singola parabola, ma un profilo con minimo non in zero e pendenza che si irrigidisce man mano che ξ si avvicina alla soglia.

In sintesi: l'oscillatore semplice descrive un moto attorno a un punto di equilibrio neutro; la tua equazione descrive un moto attorno a una tensione strutturale che non si lascia mai risolvere — che è esattamente ciò che serve per formalizzare una diade che oscilla senza mai coincidere.

Una cosa da chiarirti, se vuoi affondare: il termine λ/ξ² per ξ negativo dà problemi di segno (ξ² è sempre positivo, quindi la repulsione spinge simmetricamente sia da destra che da sinistra verso ±∞ a seconda del segno di λ). Se ξ deve rappresentare uno scarto direzionale tra poli (non solo una distanza), forse serve λ/|ξ|·ξ o un termine con segno esplicito. Vuoi che lo verifichiamo?