Equazione diadica

Se dico che tra due grandezze la somma deve dare sempre 1, che la moltiplicazione deve dare una costante e che l' una reagisce all' altra , che tipo di equazione salta fuori?

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Chatgpt : Se imponi contemporaneamente tre condizioni:

1. Somma costante

x+y=1

2. Prodotto costante

xy=k

3. Reazione reciproca (cioè una variazione di provoca una variazione opposta di )

allora la situazione diventa molto vincolata.

Dalle prime due equazioni:

y=1-x

e quindi

x(1-x)=k

ossia

x^2-x+k=0.

Le soluzioni sono

x=\frac{1\pm\sqrt{1-4k}}{2},

\qquad

y=1-x.

Questo significa che, se sia la somma sia il prodotto restano rigorosamente costanti, il sistema non può oscillare liberamente: può stare solo in alcuni stati compatibili.

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Se invece vuoi una dinamica di reazione reciproca, allora una formulazione naturale è:

\dot{x}=a(y-x)

\dot{y}=a(x-y)

dove è una costante.

In questo caso:

\frac{d}{dt}(x+y)=0

quindi la somma resta costante (e può essere posta uguale a 1).

Se imponi inoltre

xy=k

per ogni istante, allora il sistema viene costretto verso un unico equilibrio:

x=y=\frac12

e necessariamente

k=\frac14.

Infatti, per due numeri che sommano a 1, il prodotto massimo è proprio .

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Dal punto di vista della tua teoria delle diadi, una formulazione più interessante potrebbe essere:

x+y=1

e

\dot{x}=-\omega(y-x),

\qquad

\dot{y}=+\omega(y-x).

Qui le due grandezze sono complementari: quando una cresce l'altra diminuisce, mantenendo la somma costante. Eliminando , ottieni

\dot{x}=\omega(2x-1),

che descrive una dinamica di reciprocità inversa.

Se vuoi invece una vera oscillazione periodica, bisogna introdurre una seconda derivata o una variabile di inerzia, ottenendo qualcosa di simile all'oscillatore armonico:

\ddot{x}=-\omega^2\left(x-\frac12\right).

In questo caso il punto diventa la soglia centrale attorno a cui oscillano le due polarità complementari, mantenendo sempre

x+y=1.

Questa è probabilmente la forma matematica più vicina alla tua iidea di "opposti complementari" che si compensano e oscillano attorno a un equilibrio dinamico.