Relatività e reciprocità

 Si può dire che  il principio di relatività sia un principio di reciprocità?

***

Bella domanda!

La risposta è: non esattamente, anche se c’è una connessione.

Principio di relatività

Nella formulazione galileiana e poi in quella einsteiniana (ristretta), afferma che:

le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali;

nessun esperimento puramente interno a un sistema inerziale può distinguere se esso è “in moto” o “in quiete”.

Principio di reciprocità

Con questo termine, di solito si intende che:

se un osservatore A vede l’orologio (o le misure) dell’osservatore B rallentare o contrarsi, allora anche B vede lo stesso effetto su A, in condizioni simmetriche.

È un concetto legato più alle conseguenze simmetriche della relatività ristretta (dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze, relatività della simultaneità).

Relazione tra i due

Il principio di relatività è più generale e fondativo: stabilisce la forma universale delle leggi della fisica.

La reciprocità è una conseguenza (non un presupposto) di questo principio, quando si confrontano due osservatori inerziali in condizioni simmetriche.

👉 Quindi, si può dire che il principio di relatività implica la reciprocità in molti casi (come nelle trasformazioni di Lorentz), ma non sono sinonimi: il primo è un assioma di validità universale, il secondo è una proprietà derivata e più circoscritta.

Vuoi che ti faccia un esempio concreto (con due gemelli o con due osservatori in moto relativo) per vedere come dal principio di relatività segue la reciprocità?

***

Si, fammi l' esempio.

***

Perfetto, prendiamo un esempio semplice, senza accelerazioni, per vedere bene il legame tra principio di relatività e reciprocità.

---

Scenario

Abbiamo due osservatori Alice e Bob, ciascuno in un’astronave.

Si muovono l’uno rispetto all’altro a velocità costante .

Ognuno ha un orologio che batte un secondo a intervalli regolari.

---

Dal principio di relatività

Non esiste un sistema di riferimento inerziale “privilegiato”:

le leggi della fisica valgono per Alice come per Bob;

nessuno dei due può dire “io sono fermo e l’altro si muove davvero”.

---

Conseguenza: reciprocità della dilatazione dei tempi

Alice osserva che l’orologio di Bob batte più lentamente del suo, con un fattore di Lorentz

\Delta t' = \gamma \Delta t \quad \text{dove} \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} .

Questa simmetria è la reciprocità: ognuno vede l’altro rallentato.

---

Nota importante

Qui non c’è contraddizione perché:

non stiamo confrontando i due orologi nello stesso luogo e allo stesso tempo,

ma ciascun osservatore misura a distanza, e la relatività della simultaneità impedisce di dire che i due orologi “scorrono davvero più lenti”: la situazione è completamente simmetrica finché nessuno accelera.

---

Riassunto

Il principio di relatività impone che non esista un osservatore privilegiato.

Da ciò segue che ogni effetto (come la dilatazione dei tempi) deve valere in modo reciproco.

---

Vuoi che ti mostri anche il caso in cui la reciprocità si rompe, cioè quando uno dei due accelera (paradosso dei gemelli)?

***

Vai.

***

Ottimo 🙂.

Vediamo il paradosso dei gemelli, che è proprio il caso in cui la reciprocità si rompe perché entra in gioco l’accelerazione.

---

Scenario

Due gemelli, Anna e Bruno.

Anna rimane sulla Terra (sistema inerziale approssimato).

Bruno parte con un’astronave, viaggia a velocità relativistica , poi inverte la rotta e torna.

---

Fase 1: Andata

Durante il viaggio di andata:

Dal punto di vista di Anna: l’orologio di Bruno scorre più lentamente (dilatazione dei tempi).

Dal punto di vista di Bruno: anche l’orologio di Anna sembra scorrere più lentamente (reciprocità).

Fin qui tutto simmetrico.

---

Fase 2: Ritorno (il punto cruciale)

Quando Bruno inverte la rotta, deve accelerare:

Questo rompe la simmetria.

Non possiamo più dire che Bruno è sempre in un sistema inerziale: durante l’accelerazione, le leggi della fisica per lui non hanno la stessa forma semplice che in un sistema inerziale.

---

Fase 3: Confronto finale

Quando i due si ritrovano insieme sulla Terra:

Il calcolo con le trasformazioni di Lorentz mostra che Bruno è più giovane di Anna.

La dilatazione dei tempi ha agito in modo diverso perché Bruno ha cambiato sistema inerziale (ha "saltato" da un sistema all’altro durante l’inversione).

La reciprocità si rompe proprio a causa di questa asimmetria: Anna è sempre rimasta in un sistema inerziale, Bruno no.

---

Morale

Principio di relatività: in ogni sistema inerziale valgono le stesse leggi.

Reciprocità: vale solo se entrambi restano sempre in sistemi inerziali equivalenti.

Quando uno accelera, la simmetria si rompe → si ottiene un effetto reale e misurabile (Anna invecchia di più).

---

Vuoi che ti faccia anche il calcolo numerico di un esempio (tipo: Bruno viaggia a 0,8c per 10 anni di tempo proprio di Anna, e vediamo quanti anni hanno i due quando si reincontrano)?

***

Io mi riferivo al caso umano, in cui il sistema inerziale è lo stesso.

***

Ah, chiaro 👍 ti riferisci al caso quotidiano (umano), cioè alle velocità piccole rispetto a , dove sia Alice che Bob stanno nello stesso sistema inerziale (per esempio entrambi sulla Terra o fermi l’uno rispetto all’altro).

---

In quel caso:

Non si può nemmeno parlare di dilatazione dei tempi o contrazione delle lunghezze, perché questi effetti emergono solo quando due osservatori sono in moto relativo.

Se condividono lo stesso sistema inerziale (stessa velocità, nessuna accelerazione relativa), allora le loro misure di spazio e tempo sono identiche.

---

Relazione tra relatività e reciprocità qui

Il principio di relatività è rispettato: le leggi della fisica sono le stesse per entrambi, perché usano lo stesso sistema di riferimento.

La reciprocità in senso relativistico (cioè “ognuno vede l’orologio dell’altro andare più lento”) non si applica, perché non c’è alcuna differenza da scambiare: i due osservatori misurano esattamente le stesse cose.

In altre parole:

stesso sistema inerziale → perfetta identità delle osservazioni (nessuna dilatazione dei tempi, nessuna contrazione).

sistemi inerziali diversi in moto relativo → allora sì che emerge la reciprocità.

---

Vuoi che ti mostri come, in termini matematici, la trasformazione di Lorentz diventa semplicemente l’identità (, ) quando i due osservatori condividono lo stesso sistema?

***

E per i sistemi inerziali diversi in moto relativo,  emerge la reciprocità?

***

Esattamente 👌, ed è proprio qui che la reciprocità entra in gioco.

---

Caso: due sistemi inerziali diversi in moto relativo

Supponiamo che Alice sia in un treno che viaggia a velocità costante , e Bob stia a terra.

Ognuno ha un orologio.

Dal punto di vista delle trasformazioni di Lorentz:

\Delta t' = \gamma \Delta t, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} .

---

Ciò che vede Alice

Alice considera se stessa ferma.

Vede l’orologio di Bob (a terra) andare più lentamente.

Ciò che vede Bob

Bob considera se stesso fermo.

Vede l’orologio di Alice (sul treno) andare più lentamente.

---

Questo è il principio di reciprocità

Ognuno osserva la dilatazione dei tempi dell’altro.

Non c’è contraddizione perché:

ciascun osservatore usa le proprie regole di sincronizzazione e misura distanze/tempi nel proprio sistema;

la relatività della simultaneità garantisce che queste due descrizioni, pur sembrando “opposte”, sono entrambe corrette.

---

🔑 Quindi:

Principio di relatività → nessun sistema inerziale è privilegiato.

Reciprocità → se due osservatori inerziali sono in moto relativo, ciascuno attribuisce all’altro lo stesso effetto (es. rallentamento degli orologi).

---

Vuoi che ti faccia vedere un piccolo esempio numerico (tipo Alice vede Bob rallentare del 20%, e Bob vede Alice rallentare esattamente dello stesso fattore)?

***

A questo mi riferivo.