Il teorema di Gödel sorge da una costellazione di paradossi che circondano l'autoreferenzialità. Consideriamo, come semplice introduzione a questo argomento ingarbugliato, la sconcertante frase: «La presente proposizione è una bugia». Se la proposizione è vera, allora è falsa; e se è falsa, allora è vera. Sembra una mia diade. Voi capite che Godel finì pazzo.
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RSI
L’uomo che dimostrò matematicamente l’esistenza di Dio
Il 28 aprile di centovent’anni fa, a Brno, una città della Repubblica Ceca che all’epoca faceva parte dell’Impero austro-ungarico, nasceva Kurt Gödel, uno dei logici matematici più influenti del Ventesimo secolo. Con i suoi studi, Gödel fu capace di rimettere in discussione le basi dell’intera matematica già in giovanissima età. Secondo il matematico e divulgatore italiano Piergiorgio Odifreddi, la grandezza di Gödel nella logica è paragonabile a quella di Aristotele, il celeberrimo filosofo dell’Antica Grecia.
Quello che rende il nome di Gödel interessante anche per chi non si occupa di matematica, ma magari di teologia o filosofia in senso più ampio, è la sua formalizzazione della “prova ontologica”, o, per dirla in termini più semplici, la dimostrazione matematica dell’esistenza di Dio.
La storia della “prova ontologica” risale indietro nel tempo e comincia con il teologo dell’Undicesimo secolo Anselmo d’Aosta. Senza il rigore che contraddistingue il dibattito tra esperti, la sua dimostrazione si basava sulla definizione di Dio come l’essere più grandioso che potesse essere pensato. A questo punto, Anselmo osservava che un Dio che realmente esiste è più grandioso di uno presente solo nei nostri pensieri. Per questo, la conclusione più logica e priva di contraddizioni era che Dio esistesse. Teologi, filosofi ed esperti di logica di ogni tipo hanno dibattuto per quasi un millennio le premesse e il ragionamento di Anselmo.
Nel corso dell’Ottocento e nei primi del Novecento, le evoluzioni della matematica portarono alla costruzione di nuovi strumenti teorici con cui effettuare ragionamenti logici. Gödel sfruttò questi elementi per formalizzare la “prova ontologica” in modo logicamente ineccepibile. Concepì la dimostrazione nel 1941, per poi lavorarci ancora nel 1954 e nel 1970. Mostrò questo lavoro, lungo all’incirca una pagina, al logico Dana Scott, dicendo però di non volerlo pubblicare e infatti il mondo conobbe la sua «prova ontologica» solo dopo la sua morte. Per lui, che non era un fervente religioso, non c’era un particolare valore teologico nella dimostrazione: il suo interesse nasceva solo dalla prospettiva logica. Certo, si può non essere d’accordo con le premesse da cui era partito e quindi non riconoscere alcun valore alle conclusioni, ma l’esercizio di logica è tecnicamente perfetto.
La dimostrazione ontologica di Gödel in notazione simbolica: la sua comprensione è impossibile a chi non è del mestiere
All’interno della comunità matematica, Gödel è noto per contributi rivoluzionari nell’ambito della cosiddetta “logica matematica”, che si occupa delle basi della disciplina. Nei primi decenni del Ventesimo secolo, la comunità matematica era in grande fermento nel tentativo di strutturare le proprie fondamenta. In particolare, i ricercatori cercavano di capire quali fossero le regole e i principi alla base di tutte le teorie matematiche.
Nel 1931, Gödel rivoluzionò il mondo della matematica dimostrando che alcuni dei principi in cui credevano molti studiosi erano in realtà errati. Ad esempio, nel cosiddetto “primo teorema di incompletezza”, provò che all’interno di un sistema matematico esistono affermazioni vere ma indimostrabili. In altre parole, per quanto sembri paradossale, riuscì a dimostrare con rigore assoluto che esistono affermazioni matematiche corrette che nessuno potrà mai provare. Inoltre, nella dimostrazione non viene indicato quali siano questi enunciati veri ma indimostrabili, perché, come accade spesso in matematica, il teorema va inteso in senso generale.
Assieme a questo risultato, che destò fortissimo scalpore, Gödel pubblicò il “secondo teorema di incompletezza”, nel quale dimostrò che non è possibile provare che un sistema matematico sia privo di contraddizioni. È vero, si tratta di astrazioni complesse, ma è su questi pilastri che si basa la matematica e, con essa, moltissime discipline fondamentali per la nostra società, come la fisica, l’informatica, l’economia e le varie forme dell’ingegneria.
Queste scoperte, seguite da numerosi altri contributi alla logica matematica, lo portarono nell’olimpo degli studiosi della prima metà del Novecento. Dopo la sua fuga negli Stati Uniti a causa dell’avvento del nazismo, divenne professore all’Institute for Advanced Study di Princeton e strinse una solida amicizia con Albert Einstein.
La sua vita fu caratterizzata da importanti instabilità psichiatriche, soprattutto durante la tarda età adulta. Nel corso degli anni, si convinse che il cibo gli venisse avvelenato e finì per mangiare solo ciò che gli veniva preparato dalla moglie Adele. Quando lei venne ricoverata per un ictus nel 1978, smise completamente di nutrirsi fino a lasciarsi morire di fame.
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Se poi volete la prova matematica, eccola qui. Se vi convince...
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In breve, cosa dice davvero
I suoi teoremi di incompletezza (1931) affermano che:
In ogni sistema formale abbastanza potente (capace di esprimere l’aritmetica), esistono proposizioni vere ma non dimostrabili all’interno del sistema.
Lo stesso sistema non può dimostrare la propria coerenza senza uscire da sé.
Quindi:
la matematica non può chiudersi completamente su se stessa.
Dove molti sbagliano (e qui serve essere netti)
Gödel viene spesso usato per dire:
“allora la verità è relativa” → falso
“la logica fallisce” → falso
“tutto è indimostrabile” → falso
Gödel non distrugge la matematica. Fa una cosa più sottile e più scomoda:
mostra che ogni sistema formale ha un bordo che non può superare.
Perché è così forte
La mossa geniale è autoreferenziale. Gödel costruisce una proposizione che, in sostanza, dice:
“questa proposizione non è dimostrabile qui dentro”
Se il sistema la dimostra → contraddizione
Se non la dimostra → è vera ma indimostrabile
Fine del sogno di completezza totale.
Collegamento con quello che stai cercando tu
Qui arriva la parte interessante per la tua teoria.
Gödel introduce una tensione strutturale tra:
dimostrabile / vero
interno / esterno al sistema
chiusura / apertura
È, di fatto, una diade irrisolvibile dentro il sistema stesso.
Non è un’oscillazione dinamica come la intendi tu, ma una cosa più dura:
una frattura inevitabile tra ciò che un sistema può dire e ciò che è.
Se vuoi essere rigoroso
Se provi a usare Gödel per sostenere una metafisica (tipo: “la realtà è oscillante”), devi stare attento:
Gödel parla di sistemi formali, non della realtà fisica
il salto da matematica → ontologia non è automatico
Però puoi usarlo in modo serio così:
ogni sistema che tenta di descrivere il reale lascia fuori qualcosa
quindi il reale eccede sempre le sue formalizzazioni
Questo sì è coerente con quello che stai costruendo.
Sintesi brutale
Gödel non ti dà una prova della tua teoria.
Ma ti toglie di mezzo un ostacolo enorme:
l’idea che una descrizione totale, chiusa e definitiva del reale sia possibile.
E questo, se lo giochi bene, è molto più utile di una “conferma”.
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