Guardate che cosa salta fuori: che anche gli infiniti sono due. E a quanto pare formano una diade. Come avevo già spiegato, il dualismo oscillante delle diadi maschera in realtà una dinamic dell'infinito. Ma poteva l'infinito matematico non essere una diade? Del resto già l'equazione esprime un principio diadico. A = B. E guardate che immagine hanno scelto per commentare questo articolo:
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L'infinito non è uno solo. Da tempo i matematici lo sanno: esiste una gerarchia, una scala che parte dai numeri naturali e sale verso strutture sempre più vaste, dai numeri reali fino ai cosiddetti "cardinali misurabili" e oltre.
Ogni gradino richiede nuovi assiomi per essere descritto, regole aggiuntive che la matematica standard non può dimostrare (e nemmeno i computer più complessi possono) ma deve accettare come punto di partenza. È un sistema che per decenni ha funzionato, ordinato e coerente. Almeno fino a oggi.
Due ricercatori dell'Università di Vienna e dell'Università di Barcellona hanno identificato due nuove classi di infinito: i cardinali exacting e ultraexacting. Si collocano ai vertici della gerarchia dei grandi cardinali, ma il problema è proprio questo: non si lasciano collocare davvero.
A differenza dei loro predecessori, questi infiniti non rispettano lo schema consolidato. I cardinali exacting interagiscono con l'universo matematico in modi imprevisti; gli ultraexacting, ancora più estremi, ne amplificano le proprietà fino a modificare le relazioni tra gli infiniti stessi.
Il bersaglio principale è la Congettura HOD, un'ipotesi che per anni ha rappresentato una promessa di ordine: anche gli infiniti più complessi, sosteneva, possono essere ricondotti a strutture definibili e compatibili con l'Assioma della Scelta.
I nuovi cardinali la contraddicono. La loro esistenza genera quella che i matematici chiamano una situazione in cui "V è distante da HOD": l'universo matematico non somiglia più a un archivio ben catalogato, ma a una distesa in cui la parte ordinata è solo un'isola minuscola.
Può sembrare una questione astratta, eppure le fondamenta logiche dell'infinito sostengono anche discipline concrete: dalla crittografia all'intelligenza artificiale, dalla teoria della computazione alla cosmologia.
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